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dynasys:raeuber-beute-modell [06.02.2018 13:01]
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 +<​html><​div style="​background-color:#​eee;​padding:​3px;​text-align:​center;"></​html>​
 +[ [[Einführung]] ] - [ [[Einleitung]] ] - [ [[dynamischesysteme|Dynamische Systeme]] ] - [ [[Wachstumsfunktionen]] ] - [ **[[raeuber-beute-modell|Räuber-Beute-Modell]]** ] - [ [[Bevoelkerungsmodelle|Bevölkerungsmodelle]] ] - [ [[physikmodelle|Modelle in der Physik]] ] - [ [[Literaturverzeichnis]] ]
 +<​html></​div></​html>​
 ====== 4. Das Räuber-Beute-Modell ====== ====== 4. Das Räuber-Beute-Modell ======
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 In den über mehr als neun Jahrzehnte geführten Aufzeichnungen der Hudson-Bay-Company über den Eingang von Fellen von Luchsen und Schneehasen finden sich starke und regelmäßige Schwankungen mit einer Periode von 6,9 Jahren. Auf ähnliche periodische Schwankungen von Fischbeständen in der Adria hingewiesen,​ formulierte Vito Volterra 1931 ein mathematisches Modell, das die Dynamik von Räuber-Beute-Systemen beschreibt. Unabhängig von ihm entwickelte Alfred Lotka den gleichen Ansatz. Ihre Arbeit ist unter dem Begriff Lotka-Volterra-System bekannt geworden. In den über mehr als neun Jahrzehnte geführten Aufzeichnungen der Hudson-Bay-Company über den Eingang von Fellen von Luchsen und Schneehasen finden sich starke und regelmäßige Schwankungen mit einer Periode von 6,9 Jahren. Auf ähnliche periodische Schwankungen von Fischbeständen in der Adria hingewiesen,​ formulierte Vito Volterra 1931 ein mathematisches Modell, das die Dynamik von Räuber-Beute-Systemen beschreibt. Unabhängig von ihm entwickelte Alfred Lotka den gleichen Ansatz. Ihre Arbeit ist unter dem Begriff Lotka-Volterra-System bekannt geworden.
  
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-%centerAufzeichnungen der Hudson-Bay-Company über den Eingang von Fellen von Luchsen und Schneehasen+<​html><​div style="​text-align:​center; font-style:​italic;"> ​Aufzeichnungen der Hudson-Bay-Company über den Eingang von Fellen von Luchsen und Schneehasen</​div></​html>​
  
 Wir werden hier das Modell eines Räuber-Beute-Systems bei begrenzter Weidehaltung entwickeln. Zunächst werden die beiden Populationen von Füchsen und Hasen getrennt betrachtet. Betrachtet man allein die Fuchspopulation,​ so ergibt sich das Simulationsdiagramm aus Abb. 3.10. Wir werden hier das Modell eines Räuber-Beute-Systems bei begrenzter Weidehaltung entwickeln. Zunächst werden die beiden Populationen von Füchsen und Hasen getrennt betrachtet. Betrachtet man allein die Fuchspopulation,​ so ergibt sich das Simulationsdiagramm aus Abb. 3.10.
  
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-%centerModellteil für den Fuchsbestand im Räuber-Beute-System+ 
 +<​html><​div style="​text-align:​center; font-style:​italic;">​Modellteil für den Fuchsbestand im Räuber-Beute-System</​div></​html>​
  
 Der Fuchsbestand vergrößert sich mit der Zufuhr von Futter, und er verringert sich entsprechend dem Energieverlust zur Erhaltung der Lebensvorgänge. Dieser Erhaltungsbedarf ist hier mit 0,2/Woche angesetzt, d.h. ohne Nahrungszufuhr würde ein Fuchs 20% seines Gewichts (genauer seines Energieinhalts) pro Woche verlieren. Im Gleichgewichtszustand müßte die Nahrungszufuhr genau dieser Menge entsprechen. Der Fuchsbestand vergrößert sich mit der Zufuhr von Futter, und er verringert sich entsprechend dem Energieverlust zur Erhaltung der Lebensvorgänge. Dieser Erhaltungsbedarf ist hier mit 0,2/Woche angesetzt, d.h. ohne Nahrungszufuhr würde ein Fuchs 20% seines Gewichts (genauer seines Energieinhalts) pro Woche verlieren. Im Gleichgewichtszustand müßte die Nahrungszufuhr genau dieser Menge entsprechen.
  
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-%centerModellteil für den Hasenbestand im Räuber-Beute-System+ 
 +<​html><​div style="​text-align:​center; font-style:​italic;"> ​Modellteil für den Hasenbestand im Räuber-Beute-System</​div></​html>​
  
 Das Simulationsdiagramm für die Hasen zeigt Abb. 3.11. Wir nehmen zunächst einmal an, daß die Hasenpopulation bei ungehindertem Wachstum eine Nettozuwachsrate von 0,08 pro Woche haben würde, was einer Verdopplung in etwa 9 Wochen entspricht. Das Simulationsdiagramm für die Hasen zeigt Abb. 3.11. Wir nehmen zunächst einmal an, daß die Hasenpopulation bei ungehindertem Wachstum eine Nettozuwachsrate von 0,08 pro Woche haben würde, was einer Verdopplung in etwa 9 Wochen entspricht.
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 Je mehr Hasen es gibt, um so mehr stehen den Füchsen als Beute zur Verfügung. Je mehr Füchse es gibt, um so mehr Hasen werden den Füchsen zur Beute fallen. Das Produkt aus Hasen und Füchsen kann daher als Maß dafür genommen werden, wie viele Hasen den Füchsen zur Beute fallen. Jeder erlegte Hase bringt dem Fuchsbestand einen entsprechenden Gewinn und bedeutet einen entsprechenden Verlust für den Hasenbestand. Für die Festlegung der Faktoren gelten folgende Überlegungen:​ bei einer mittleren Zahl von 500 Hasen und 10 Füchsen (Treffen=5000/​Woche) sollen die Füchse ihre Verluste von 10*0,2=2 ersetzen können. Hieraus ergibt sich die Gewichtung der Verbindung von Treffen zu Füchsen als 2/​5000=0,​0004. Wird angenommen, daß ein Fuchs die Biomasse von 5 Hasen hat, so entspricht dieser Gewinn von 2 Fuchseinheiten pro Woche einem Verlust von 10 Hasen pro Woche. Der Wichtungsfaktor für die Verbindung Treffen nach Hasen wird also -10/​5000=-0,​002. Je mehr Hasen es gibt, um so mehr stehen den Füchsen als Beute zur Verfügung. Je mehr Füchse es gibt, um so mehr Hasen werden den Füchsen zur Beute fallen. Das Produkt aus Hasen und Füchsen kann daher als Maß dafür genommen werden, wie viele Hasen den Füchsen zur Beute fallen. Jeder erlegte Hase bringt dem Fuchsbestand einen entsprechenden Gewinn und bedeutet einen entsprechenden Verlust für den Hasenbestand. Für die Festlegung der Faktoren gelten folgende Überlegungen:​ bei einer mittleren Zahl von 500 Hasen und 10 Füchsen (Treffen=5000/​Woche) sollen die Füchse ihre Verluste von 10*0,2=2 ersetzen können. Hieraus ergibt sich die Gewichtung der Verbindung von Treffen zu Füchsen als 2/​5000=0,​0004. Wird angenommen, daß ein Fuchs die Biomasse von 5 Hasen hat, so entspricht dieser Gewinn von 2 Fuchseinheiten pro Woche einem Verlust von 10 Hasen pro Woche. Der Wichtungsfaktor für die Verbindung Treffen nach Hasen wird also -10/​5000=-0,​002.
  
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-%centerVerkopplung beider Modellteile+ 
 +<​html><​div style="​text-align:​center; font-style:​italic;"> ​Verkopplung beider Modellteile</​div></​html>​
  
 Aus diesen Bausteinen können wir nun das Gesamtmodell zusammensetzen. Aus diesen Bausteinen können wir nun das Gesamtmodell zusammensetzen.
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- '''​Zustandsgleichungen'''​+ ​Zustandsgleichungen
     Hasen.neu <-- Hasen.alt + dt*(Hasen_Zuwachs-Hasen_Abnahme) ​     Hasen.neu <-- Hasen.alt + dt*(Hasen_Zuwachs-Hasen_Abnahme) ​
     Startwert Hasen = 200     Startwert Hasen = 200
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     Startwert Fuechse = 50     Startwert Fuechse = 50
            
- '''​Konstanten'''​+ ​Konstanten
     Energieverlust = 0.2      Energieverlust = 0.2 
     Geburtenkoeff = 0.08     Geburtenkoeff = 0.08
            
- '''​Raten'''​+ Raten
     Hasen_Zuwachs = 0.001*Hasen*freie_Weide*Geburtenkoeff ​     Hasen_Zuwachs = 0.001*Hasen*freie_Weide*Geburtenkoeff ​
     Hasen_Abnahme = 0.002*Treffen     Hasen_Abnahme = 0.002*Treffen
Zeile 48: Zeile 53:
     Fuchs_Abnahme = Energieverlust*Fuechse     Fuchs_Abnahme = Energieverlust*Fuechse
            
- '''​Zwischenwerte'''​+ ​Zwischenwerte
     freie_Weide = Weidekap-Hasen ​     freie_Weide = Weidekap-Hasen ​
     Treffen = Hasen*Fuechse     Treffen = Hasen*Fuechse
Zeile 54: Zeile 59:
 </​code> ​ </​code> ​
  
-%center% http://​modsim.hupfeld-software.de/​images/​abb_3_13.gif 
  
 +{{ dynasys:​abb_3_13.gif |Ergebnis der Simulation des Räuber-Beute-Systems}}
  
- +<​html><​div style="​text-align:​center; font-style:​italic;"> ​Ergebnis der Simulation des Räuber-Beute-Systems</​div></​html>​
-%centerErgebnis der Simulation des Räuber-Beute-Systems+
  
 Statt eines konstanten Wertes kann man eine Halbierung der Weidekapazität nach einer bestimmten Zeit durchführen. Dies erreicht man einfachsten durch eine Tabellenfunktion. Statt eines konstanten Wertes kann man eine Halbierung der Weidekapazität nach einer bestimmten Zeit durchführen. Dies erreicht man einfachsten durch eine Tabellenfunktion.
  
-%center% [[Wachstumsfunktionen]] - [[Einfuehrung | Inhalt]] -  [[Bevoelkerungsmodelle|Bevölkerungsmodelle]]+